Vもぎ解説【数学編】2019.6.2実施- 高校受験対策

    今回は、
    2019年6月2日に実施されたVもぎのうち、数学の解説します。

    数学は、
    都立高校入試のなかで最もパターン化しやすい科目です。

    つまり、
    最も出題傾向が安定している科目です。

    なので、
    自分の目標点に応じてやるべきことを明確に定めることができます。

    こちらの解説を参考にして、
    あなたのやるべきことが明確になることが今回の記事の目的です。

    それでは、いきましょう。 

    大問1

    都立高校入試本番では、 

    設問 単元 習う学年
    問1 正負の計算 中1
    問2 1次式の加減 中1
    問3 平方根の計算 中3
    問4 一次方程式 中1
    問5 連立方程式 中2
    問6 二次方程式 中3
    問7 資料の整理/確率 中1/中2
    問8 図形の角度 中2~中3
    問9 作図 中1~中3

    または、 

    設問 単元 習う学年
    問1 正負の計算 中1
    問2 1次式の加減 中1
    問3 平方根の計算 中3
    問4 一次方程式 中1
    問5 連立方程式 中2
    問6 二次方程式 中3
    問7 一次関数/二次関数 中2/中3
    問8 資料の整理/確率 中1/中2
    問9 作図 中1~中3

    の、どちらかのパターンで出題がなされます。

    今回の模試では中3数学は出題されませんので、

    問3・問6の内容(平方根の計算と二次方程式)は出題されませんでした。

    また、持ち物にコンパスがなかったことからも予想されましたが作図問題が出題されませんでした。

    そこで、 

    問1 正負の計算① 中1
    問2 正負の計算② 中1
    問3 1次式の加減 中1
    問4 1次式の乗除 中1
    問5 一次方程式 中1
    問6 連立方程式 中2
    問7 一次関数 中2
    問8 確率 中2
    問9 図形の角度 中2

    という出題になりました。

    計算問題が6問(問1~問6)であることは一致しています。

    しかし、計算問題の出題単元が大きく異なります。

    これから7月、8月、9月・・・と進むにつれて都立高校入試本番の形式に似てきます。

    計算問題で5点×6問=30点

    の配点があります。

    志望する都立高校のランクにかかわらず、この計算問題6問で30点が必ず得点できるようにする必要があります。

    正負の計算→1次式の加減→・・・

    と出題される順にマスターしていきましょう。

    お勧めのマスター方法は、

    ①市販の過去問集を買う

    ②各年度の数学の大問1問1だけを解く

    ③全問正解まで繰り返す

    ④問2に進む

    ⑤これを問6まで繰り返す

    というものです。

     

    問7:関数の問題

    この分野では、 

    一次関数

    ①傾きを求める

    ②切片を求める

    ③式を求める =傾き(変化の割合)と切片の両方を求める

    二次関数

    ①変化の割合を求める≒式を求める

    いずれかの出題となります。

    学校で配布された教科書準拠の問題集や市販の教材などを活用して、

    あらゆるパターンの上記問題を解いておきましょう。

    今回の問題では、求めたい式を

    y=ax+b

    とおき、そこに与えられた情報を代入して解きます。

    こういった操作をマスターしておきましょう。 

    問8:確率

    都立高校入試においてこの分野では、

    ・カード

    ・袋

    ・サイコロ

    のどれかが題材となります。

    発生しうる事象をすべて書き出して正解を出します。

    今回の問題で求める確率は2つのカードの差の絶対値が1である確率なので、

    1-2 〇

     -3 ×

     ―4 ×

     ―5 ×

    2-1 〇

     -2 ×

     -3 〇

     -4 ×

     -5 ×

    3-1 ×

     -2 〇

     -3 ×

     -4 〇

     -5 ×

    4-1 ×

     -2 ×

     -3 〇

     -4 ×

     -5 〇

    5-1 ×

     -2 ×

     -3 ×

     -4 〇

     -5 ×

    となるので、

    が答えとなります。

    問9:図形の角度

    平行四辺形の問題→平行四辺形の特性を利用する

    平行四辺形の対角は等しい

    ⇒∠C=∠A=112度。

    ⇒∠B=∠D=(360-∠A-∠C)÷2=68度

    DQは∠Dの二等分線なので、

    ∠QDC=68÷2=34度

    四角形の内角の和は360度なので、四角形QDCPにおいて

    ∠QPC=360-90-34-112=124度

    B-P-Cは一直線なので、

    ∠APB=180-124=56度

    となります。

    図形の角度を求める問題は一見解き方が複雑ですが、

    パターンのバリエーションはあまり多くないので

    一題一題を丁寧に解いてパターンを身につけていきましょう。 

    大問2

    都立高校入試の大問2とは大きく異なる形式となっています。

    唯一共通するのは、「読解力」「思考力」を必要とする点です。 

    問1

    「国語と数学の点数が等しい」⇒国語がⅹ点なら数学もⅹ点である

    2x+260=400

    x=70 

    問2

    5教科の合計点が420点⇒国語と数学の合計=x+y=420-260=160

    国語が最小値をとる⇒数学が最大値(つまり100点)

    数学が100点なら国語は(160-100)=60点 

    問3

    「国語・数学・社会の平均点が80点」

     x+y+90=240 x+y=150・・・①

    「国語・社会・理科の平均点が数学と英語の平均点より5点高い」

    これを数式で表現すると、

    「国語・社会・理科の平均点」=「数学と英語の平均点」+5

    =ここに数式を入力します。

    両辺を6倍して

    2(x+180)=3(80+y)+30

    2x+360=270+3y

    2x-3y=-90・・・②

    連立方程式①②を解いて、

    x=72 y=78

    となります。

    大問3

    都立高校入試数学では、大問3は一次関数または二次関数の問題です。

    今回は一次関数の問題でした。 

    問1

    2直線の交点の座標を求める問題です。

    方程式

    を解けばOKです。

    x=2となりますので、これを直線lまたは直線mの式に代入してy=4です。

    つまり、求める座標は

    (2,4)です。 

    問2

    「点Dのx座標が6」⇒D(6,0)

    DとEはx座標が同じなので

    E(6,2)です。

    なぜならば、

     にx=6を代入するとy=2になるからです。

    EとBはy座標が同じなので、

    点Bのy座標は2

    y=2x  にy=2を代入して、x=1

    B(1,2)

    これらより、

    OD=6 OC=1より、CD=5

    CB=(Bのy座標)=2

    CD=BE、CB=DEなので

    長方形の周の長さは

    5×2+2×2=14 

    問3

    「長方形BCDEが正方形」⇒CD=DE=EB=BC

    また、OC=tである。

    CD、DE、EB、BCのなかのどれか二つをtで表し、tに関する方程式を作成して

    tの値を求めることになる。

    B(t,2t) つまりCB=2t

    BとEはy座標が同じなので

    Eのy座標は2t

     にy=2tを代入して、

    x=10-4t

    つまり、OD=10-4t

    CD=OD-OC

    CD=10-4t-t=10-5t

    ここで、

    CD=CBなので、

    10-5t=2t

    7t=10

     

    大問4

    都立高校入試数学の大問4では、平面図形の問題が出題されます。

    角度の問題、図形の合同・相似を証明する問題、辺の長さや面積を求める問題が出題されます。

    今回は、二等辺三角形と直角三角形の問題です。 

    問1

    ⊿ABD、⊿CAEともに直角三角形なので

    直角三角形の合同条件に沿って証明を行う。

    ①斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

    ②斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

    のどちらかで証明する。

    ここでは、AD=CEが問題文で与えられているので①を使う。

    証明の流れは、配布された答えの通りです。

    証明は、流れを自分の頭で考えて組み立てたあとであれば

    模範解答を模写する(そのまま書き写す)ことで上達が期待できます。

    問2①

    与えられた条件から、

    △AFC≡△AEC

    です。

    また、問1で証明した⊿ABD≡⊿CAEと

    合同な三角形の対応する角の大きさは等しいことを利用します。

    ∠EAC=50度なので、∠ECA=180-90-50=40度

    合同な三角形の対応する角の大きさは等しいので、

    ∠DAB=40度

    また、△AFC≡△AECなので

    ∠FAC=EAC=50度

    D-A-Eは一直線なので、

    ∠FAB=180-40-50―50=40度 

    問2②

    ACを対象の軸とし、点Eと線対称である点をFとしたのと同じようにして

    ABを対象の軸として、点Fと線対称である点をGとする。

    △ABF≡△ABGなので

    (△ABFの面積)=(△ABGの面積)

    △ABGは、底辺をAGとすると高さはDBである。

    【これは、AG(つまりAD)とDBが垂直だからである。】

    また、

    DB=AE=8 (合同な図形の対応する辺の長さは等しい)⊿ABD≡⊿CAEだから。

    AE=AF=8 (合同な図形の対応する辺の長さは等しい)△AFC≡△AECだから。

    AF=AG=8 (合同な図形の対応する辺の長さは等しい)△AFB≡△AGBだから。

    よって、

    (△ABFの面積)=(△ABGの面積)=AG×DB÷2=8×8÷2=32

    大問5

    都立高校入試の大問5は立体図形です。

    今回も立方体の問題が出題されています。 

    問1

    x秒後だとすると、

    CP=x

    BM=3

    BC=6

    である。

    また、四角形BCPMは台形である。

    (上底+下底)×高さ÷2

    (3+x)×6÷2=15

    x=2

    2秒後である。 

    問2

    ある柱でも錐でもなく、そのままでは体積を計算できない立体の体積を求める際には、

    ①柱か錐に分割する(断面の形状に注目する)

    ②全体から一部の体積を引いて求める立体の体積を算出する

    のどちらかの方針で立ち向かうことになります。

    この問題の場合、②をしようとしても

    差し引こうとする立体が柱でも錐でもないので効率が悪そうです。

    よって①を検討します。

    断面はどんな図形になっているでしょうか。

    DQ=2であることに注目します。

    数少ないヒントですから。

    CGの中点をNとします。BFの中点がMであるのと同じように。

    5秒後の話なので、

    CP=5

    CN=3

    よってNP=2

    DQ=2

    また、AD//BCなのでAQ//MP・・・①

    AB//DCなのでAM//QP・・・②

    ①②より四角形AMPQは平行四辺形である。

    また、

    △ADQ≡△MNPなので

    求める立体は

    三角柱ABM-DCN・・・A

    三角柱

    ADQ-MNP・・・B

    に分割する。

    Aの体積

    底面積×高さ

    (6×3÷2)×6=54

    Bの体積

    底面積×高さ

    (6×2÷2)×6=36

    よって、

    求める立体の体積は

    54+36=90(㎤)

    今回の解説は以上です。

    しっかりと復習して

    次回のVもぎや都立高校入試本番に備えましょう。